27. 典中典导数题的四个抽象做法

题目： $x_{1} - \ln x_{1} = x_{2} - \ln x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求证 $x_{1} + \ln x_{2} > 1$ 。

正常来说可以直接比值换元生求或者构造函数这样，但是：

我们将将 $x_{2}$ 视为 $x_{1}$ 的函数，对 $x_{1}$ 求导得

1 - \frac{1}{x_{1}} = \frac{d x_{2}}{d x_{1}} (1 - \frac{1}{x_{2}})

整理得 $\frac{d x_{2}}{d x_{1}} = \frac{x_{2} (x_{1} - 1)}{x_{1} (x_{2} - 1)}$

然后我们再对要证的式子进行求导得到

L H S^{'} = 1 + \frac{1}{x_{2}} \frac{d x_{2}}{d x_{1}} = \frac{x_{1} x_{2} - 1}{x_{1} (x_{2} - 1)}

分子使用常规的极值点偏移/对数均值即可判断为负，故该式随 $x_{1}$ 单减。

又因为 $x_{1} = x_{2} = 1$ 时原式取到 $1$ ，于是证完了。

deepseek-R1 刚出没几天（大概还没有火起来）的时候测试了一下，让它来做这个题。

经过一些调整后终于得到了能看的东西。这是它的做法：

考虑设 $x_{1} - \ln x_{1} = x_{2} - \ln x_{2} = m$ ，我们想要证明的是 $x_{1} + x_{2} > m + 1$ 。

我们将 $x_{1}, x_{2}$ 分别视为 $m$ 的函数，求导得

\frac{d (x_{1} + x_{2})}{d m} = \frac{x_{1}}{x_{1} - 1} + \frac{x_{2}}{x_{2} - 1}

观察原式，我们发现只需证上面的式子大于 $1$ ，然后对 $m$ 积分即得结论。

化简发现本质还是 $x_{1} x_{2} < 1$ ，于是做完了。

这个做法非常抽象，大致精神是插入极值点进行估计会更精确一些。

第一步处理同上个做法，然后我们将待证式变形为

x_{2}^{2} - x_{1}^{2} > (m + 1) x_{2} - (m + 1) x_{1}

然后代入 $m$ 可以分离变量，最终化简得到只需证

x_{2} \ln x_{2} - x_{2} > x_{1} \ln x_{1} - x_{1}

到此为止与构造函数法一致，关键是下一步：

考虑到

\ln x_{2} - \ln x_{1} = (x_{2} - 1) - (x_{1} - 1) < \frac{x_{2} + 1}{2} \ln x_{2} - \frac{x_{1} + 1}{2} \ln x_{1}

化简整理，即证。

一般来说构造函数法需要 Taylor 展开，消去偶次项系数这样（详见知乎），但是某一天我听说了这样的抽象做法：

直接构造 $f (x) = x^{2} - (m + 1) x + e^{1 - m} = x^{2} - (x - \ln x + 1) x + e^{1 - x + \ln x}$

经过复杂的讨论，最终真的能得到 $f (x)$ 在 $1$ 两侧分别保号，于是做完了。

原理未知，可能是用了 $e^{x}$ 的增长特性来强制保证保号性。